史记

## 邮递员问题 (The Postman Problem)

简介

邮递员问题，又称中国邮递员问题 (Chinese Postman Problem, CPP)，是一个经典的图论问题。其目标是寻找一条最短的路线，使得邮递员能够经过图中每一条边至少一次，然后回到出发点。 这与旅行商问题 (Traveling Salesperson Problem, TSP) 不同，TSP 要求访问图中的每个顶点至少一次，而邮递员问题则要求访问每条边至少一次。 这个问题在实际应用中非常重要，例如规划邮递路线、垃圾收集路线、雪地清理路线等。### 1. 问题的形式化描述将邮递员的投递区域抽象成一个图 G = (V, E)，其中 V 代表顶点集合，表示邮局或重要的转折点；E 代表边集合，表示道路或街道。每条边 e ∈ E 可能会有一个权重 w(e)，表示该边对应的距离或时间成本。 目标是找到一个闭合游走 (closed walk)，即一条从起点出发，经过所有边至少一次，最终回到起点的路线，并使总权重最小。### 2. 欧拉图与邮递员问题一个图如果存在一条经过每条边恰好一次的闭合游走，则称该图是欧拉图。 如果图 G 是欧拉图，那么解决邮递员问题就非常简单，只需要找到一条欧拉回路即可，其长度就是最短路线的长度。 判断一个图是否是欧拉图的条件是：

图是连通的；

图中所有顶点的度数都是偶数。### 3. 非欧拉图与邮递员问题如果图 G 不是欧拉图，那么就需要重复走某些边，以确保访问到所有边。 这就需要将图 G 转化为一个欧拉图。 转化的方法是找到图中奇度数顶点的集合，然后使用

最优匹配算法

(例如 Edmonds' algorithm 或 Blossom algorithm) 找到这些奇度数顶点之间的最短路径匹配，将这些匹配路径添加到原图中，使得所有顶点的度数都变成偶数。 最终形成的图就是一个欧拉图，我们可以找到其欧拉回路作为邮递员的最短路线。### 4. 求解算法求解邮递员问题的常用算法包括：

贪婪算法 (Greedy Algorithm):

一种近似算法，其效率高但可能无法找到最优解。

动态规划 (Dynamic Programming):

可以找到最优解，但计算复杂度较高，对于大型图不适用。

分支限界法 (Branch and Bound):

一种精确算法，可以找到最优解，但计算复杂度也较高。

整数线性规划 (Integer Linear Programming):

可以将问题转化为整数线性规划模型，利用求解器求解。### 5. 应用与扩展邮递员问题及其变种在许多实际问题中都有应用，例如：

垃圾收集路线规划:

优化垃圾收集车辆的路线，减少行驶距离和时间。

雪地清理路线规划:

规划雪地清理车辆的路线，提高效率。

巡逻路线规划:

规划巡逻人员或车辆的路线，提高安全性和覆盖率。

电缆铺设:

规划电缆铺设路线，减少材料消耗和施工时间。邮递员问题的扩展包括：

带时间窗的邮递员问题:

考虑时间限制，例如必须在特定时间段内到达某些地点。

多邮递员问题:

多个邮递员共同完成投递任务。

带容量限制的邮递员问题:

考虑车辆或邮递员的载货能力限制。总而言之，邮递员问题是一个具有广泛应用的经典图论问题，其求解算法和扩展研究仍在不断发展。 理解欧拉图的概念和最优匹配算法是解决这个问题的关键。